בין 3 לבין 4 - קצת עובדות על יום הפאי

נצה מובשוביץ-הדר היא פרופסור אמריטה בטכניון.
היא יזמה את הקמתו של מרכז מו"פ "קשר חם" לקידום, שיפור וריענון החינוך המתמטי בישראל ומאז עומדת בראשו.
במסגרת זו נצה עוסקת בשני פרויקטים חדשניים, האחד מתמקד בהקמת מאגר אינטראקטיבי שיתופי של אמצעי הוראה
והשני מתמקד בהנגשת חדשות מתחום המתמטיקה בת זמננו לתלמידי תיכון, תוך התמודדות עם אתגר כפול: לתלמידים חסר רקע מספיק כדי לרדת לעומקם של הדברים ולמורים חסר זמן  כדי לחשוף את תלמידיהם לעשייה העשירה והבלתי פוסקת בתחום עתיר היישומים שהשפעתו על הקדמה בה אנו חיים היא עצומה.

 

מדי שנה, ב-14 במרץ מציינים בארצות רבות ברחבי העולם את יום הפאי 3.14.
זהו גם יום הולדתו של איינשטיין (בשנת 1879) ולכן זכה בישראל לציון כיום המדע.
המהדרין חוגגים אותו בשעה 1:59 כי, למרות שמימי בית הספר כולם בדרך כלל זוכרים ש-π=3.14, למספר המיוחד הזה יש עוד הרבה ספרות אחרי הנקודה, חמש הראשונות הן: 3.14159.

מה כל כך מיוחד במספר הקטן הזה שערכו בין 3 ל-4?
הוא לא מספר שלם וגם לא שבר פשוט (למרות שבבית הספר משתמשים לעיתים קרובות ב-22/7). אחרי הנקודה העשרונית מופיעות בזו אחר זו אינסוף (!) ספרות, ואין שום סדר וחוקיות בהופעתן. הנה 50 הספרות הראשונות:

3.141592653589793238462643383279502884197ז16939937510

וזו רק ההתחלה!

דקלום הספרות העשרוניות של פאי הפך להיות "ספורט". במקומות שונים בעולם נערכות תחרויות דקלום של π (ראו למשל כאן). 
בספר השיאים של גינס לשנת 2015 רשום כי סטודנט הודי בן 21, רׇאגְ'ווׅיר מׅינׇה, ישב מול פאנל של שופטים במשך כעשר שעות כשעיניו עטויות בכיסוי, ודקלם 70,000 ספרות.
המהנדס היפני בגמלאות, אׇקירׇה הׇארׇאגוּצ'י, מחזיק בשיא של מעל 100,000 ספרות עשרוניות, אך הישגו לא  הוכר על ידי ספר השיאים של גינס.
גם בתיכון "בליך" ברמת-גן, נערכת תחרות שנתית ב-14.3. בשנת 2018 תלמיד כיתה י', עמרי קובי, שבר את שיא בליך הקודם שעמד על 1,051 ספרות ורשם מהזיכרון 1,071 ספרות (ראו ביוטיוב).

אם יש לך עניין לדעת היכן מופיע צירוף הספרות של תאריך יום הולדתך בין הספרות של π, עליך להיכנס לאתר זה להקליד את הספרות (ללא סימנים אחרים ביניהן),
ואם אתם אוהבים מוסיקה, תוכלו להאזין ללחן שחובר לפי הספרות של π בקישור הבא.

זוכרים את הסרט – מסע בין כוכבים? גיבורי הסרט, קפטן קירק (Kirk) והמפקד ספוק (Spock), נאבקים בכוח רשע ערטילאי בדמות ג'ק המרטש, שהשתלט על ספינת-החלל אֶנטֶרפְּרָייז.
כדי לגרש את כוח הרשע המפחיד, הם פוקדים על המחשב, המניע את כל המערכות של הספינה, לחשב את הספרה האחרונה של π... (תוכלו לשמוע זאת כאן
מה התחכום בפקודה הזאת? - זוהי משימה שתעסיק אותו בלי סוף, וכך לכוח הרשע אין עוד מקור מחיה, והוא נזרק לחלל ומתפורר לרסיסים.

וכעת, קצת יותר ברצינות. המספר π מופיע בהרבה מאד מקומות במתמטיקה. הידוע שבהם הוא כמובן היותו היחס בין היקף המעגל לבין קוטרו, שהוא קבוע בכל מעגל ולא חשוב אם המעגל קטן מאד או ענק.
קיומו של היחס הקבוע הזה היה ידוע מקדמת דנא. קציבת ערכו המדויק ריתקה את סקרנותם של המתמטיקאים בכל הזמנים.
לפי המסמך העתיק הידוע בשם פפירוס רְהַיְנְד (על שם אלכסנדר הנרי רְהַיְנְד (Rhind), חובב עתיקות סקוטי שרכש אותו בשנת 1858, ומצוי כיום במוזיאון הבריטי) חישוב הספרות שלπ  החל כבר בסביבות 1600 לפנה"ס.

המתמטיקאי היווני הנודע, ארכימדס ( 287-211 לפנה"ס) העריך את ערכו של π על ידי חישוב ההיקף של שני משושים משוכללים שהאחד חסום במעגל והשני חוסם אותו.
כדי לקבל הערכה מדויקת יותר, הכפיל ארכימדס את מספר הצלעות במצולעים המשוכללים החוסמים והחסומים מ-6 ל-12 ובהמשך מ-12 ל-24, ל-48 ועד ל-96 צלעות.
ההערכה הכי טובה שנמצאה בכתביו היא (בכתיב המקובל כיום) 3.141< π <3.142 .

בשנת 500 לספירה ידעו כבר ש-π ≈ 3.1416 ועד שנת 1000 לספירה ידעו קירוב של 10 ספרות.
בשנת 1596הגיע ההולנדי לוּדוׄלף ון-קוּלְן לשיא של תקופתו. הוא הקדיש שנים רבות מחייו לחישוב ערכו של π ע"י הכפלת מספר הצלעות במצולע החוסם והחסום. כך הגיע למצולעים בני 262 צלעות, וקיבל דיוק של 35 ספרות אחרי הנקודה.
מאז זכה היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו לשם: מספר לוּדוׄלְף. על מצבתו בעיר ליידן שבהולנד, אשר שופצה בשנת 2000, חקוק הקירוב בשתי צורות: גם כשני שברים שהמכנים שלהם הם 1035 וגם כמספרים עשרוניים (ראו תמונה כאן).
הכינוי פאי והסמל π ניתנו על ידי המתמטיקאי האנגלי וויליאם ג'ונס (1675-1749). השימוש בכינוי ובסמל π הפך לנחלת הכלל במאה ה-18, בימיו של המתמטיקאי השוויצרי הנודע ליאונרד אוילר (1707-1783) ובזכותו.

למרות שעבור כל מטרה מעשית העולה על הדעת, דיוק של 35 ספרות הוא דיוק מסַפֵּק ביותר, המרוץ אחרי גילוי עוד ועוד ספרות בפיתוח העשרוני של π לא נפסק.
מה מניע את המתמטיקאים להגדיל את מספר הספרות הידועות של π אחרי הנקודה העשרונית? – בראש ובראשונה הסקרנות ויצר החקירה. וגם חשיבותו הרבה של המספר הזה בתחומים רבים במתמטיקה ובמדעים.
מאמצע המאה העשרים מגייסים את המחשבים לעניין וכך גדל מספר הספרות הידועות מ-2,000 בשנת 1949 ל- ,000,000,000206 (206 ביליון) בשנת 1999.
נכון להיום, חושב הפיתוח העשרוני של π עד 22.4 טריליון ספרות אחרי הנקודה העשרונית. מעוניינים לקרוא עוד על כך? היכנסו לאתר הבא.

כאמור, המניע העיקר של מתמטיקאים הוא סקרנות ויצר החקירה. אולם בשנים האחרונות נמצא מֵניע נוסף: שיפור טכניקות חישוב בעלות דיוק גבוה, עבורן חישוב π מהווה אמצעי בקרה ומבחן.
חישובים של למעלה מטריליון ספרות, דורשים מחשבי-על. חישוב π בדיוק גבוה, הוא תובעני הן מבחינת זמן החישוב והן מבחינת גודל הזיכרון הנדרש לכך.
לכן, ביצוע החישובים בשיטות השונות, מהווה אבן-בוחן ליכולות המחשב לאחסן, לשלוף ולעבד כמויות עצומות של נתונים. כך התהפכו היוצרות – משימוש במחשב לבדיקת הספרות של πעברנו לשימוש ב-πלבדיקת מחשבי-על!
כך נמצאה סיבה מעשית חדשה למרוץ אחר הספרות העשרוניות של פאי.

המספר π איננו היחיד שביטויו העשרוני הוא אינסופי וחסר כל סדר ומחזוריות.
מפתיע למדי הוא הגילוי המתמטי של סוף המאה ה-19 שיש אינסוף מספרים כאלה, ושהאינסוף הזה גדול באורח משמעותי מאינסוף המספרים השלמים המוכרים לכולנו. אבל זה כבר סיפור לפעם אחרת...

 

נשמע מעניין? מוזמניםות להיכנס לאתר https://mns.co.il  או ליצור קשר עם נצה nitsa@technion.ac.il